miércoles, 29 de junio de 2011

Que es una función y sus propiedades. (Extra)

En matemáticas, una función,1 aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y(el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:
f \colon X \to Y \,
Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función realfunción compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Clasificaciones
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
  • Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
  • Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
  • Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.
'Definiciones alternas: sea f: X \rightarrow Y dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación
f(x) = b \quad \text{(*)}.
  • la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
  • la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
  • la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Bibliografia:

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